Cómo calcular cambios porcentuales compuestos

Un Soroban para contar rápido

David Wilson

¿Qué es un cambio porcentual compuesto?

Todos somos conscientes de los cambios porcentuales. Ya sea con un 25% de descuento en el costo de un televisor nuevo en las ventas del Black Friday o un aumento del 5% en las tarifas de tren (nuevamente), cambiar una cantidad en un porcentaje es una habilidad diaria. Pero, ¿qué pasa con los cambios porcentuales compuestos?

Imagine que deposita £ 100 en el banco en una cuenta de ahorros con una tasa de interés fija del 4% que se paga anualmente. Al final del año (suponiendo que no haya tocado el depósito original), su dinero habrá aumentado en un 4%, lo que le dará 4 £ adicionales y un total de 104 £ en la cuenta.

Si deja todo ese dinero en la cuenta por un año más, ¿qué sucede entonces? ¿Obtienes otras £ 4 y un total de £ 108 en el banco? No. Durante el segundo año, no solo obtiene el 4% de sus £ 100 originales, que todavía están en el banco, sino que también obtiene el 4% de las £ 4 adicionales que ganó a través de intereses el año anterior. 4% de £ 104 es £ 4.16, lo que significa que al final del segundo año tendrá £ 104 + £ 4.16 = £ 108.16 en su cuenta. Suponiendo que no toque el dinero en un punto y que la tasa de interés del 4% se mantenga constante, ganará más dinero cada año a medida que aumente la cantidad en su cuenta. Este es un interés compuesto.

Nota: Si acaba de recibir £ 4 cada año, esto se conoce como interés simple.

Cómo calcular el porcentaje de crecimiento compuesto

Veamos cómo calcular el crecimiento porcentual compuesto (también conocido como interés compuesto cuando se trata de ejemplos como el nuestro).

Como antes, comienza con £ 100 en la cuenta bancaria y una tasa de interés fija del 4%. Podríamos encontrar el 4% dividiendo las £ 100 por 100 para obtener el 1% y luego multiplicar esto por 4. Esto es genial para un año, pero si quisiéramos calcular cuánto vamos a tener en la cuenta 5 o 10 años después, llevará mucho tiempo.

En cambio, usaremos algo llamado método multiplicador. Si llamamos a nuestro depósito original 100%, luego de un aumento del 4%, terminaremos con un 104%. Para calcular el 104% de una cantidad, primero convertimos el porcentaje en un decimal dividiéndolo por 100, lo que nos da 104/100 = 1.04. Multiplicar por este 1,04 aumentará la cantidad en un 4% de una vez.

Para nuestro ejemplo, tenemos £ 100 para empezar, así que después de un año tenemos £ 100 x 1.04 = £ 104. Después de otro año, tenemos £ 104 x 1.04 = £ 108.16, luego £ 108.16 x 1.04 = £ 112.49 y así sucesivamente. Sin embargo, podemos acelerarlo aún más.

Estamos multiplicando por el mismo multiplicador, 1.04, una vez por cada año que pasa, así que si queremos encontrar el total varios años más adelante, podemos multiplicar por 1.04 esa cantidad de veces usando potencias.

Por ejemplo, después de 5 años, tendremos £ 100 x 1.04 x 1.04 x 1.04 x 1.04 x 1.04, que es lo mismo que £ 100 x 1.04 ⁵ = £ 121.67.

Después de 25 años, tendríamos £ 100 x 1.04 ²⁵ = £ 266.58. ¡Imagínese cuánto tiempo habría tardado si hubiéramos calculado el 4% de cada año por separado!

Otro ejemplo de crecimiento porcentual compuesto

Probemos con otro ejemplo de crecimiento porcentual compuesto.

La población de una ciudad aumenta un 12% cada año. Si comienza en 30 000 personas, y suponiendo que este aumento se mantenga constante, ¿cuál será la población dentro de 6 años? ¿Y dentro de 20 años?

Entonces, comenzamos con el 100% y queremos un aumento del 12%, por lo tanto, terminaremos con el 112%, que es 1.12 como decimal.

Por lo tanto, después de 6 años, la población será de 30000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Después de 20 años será 30000 x 1,12 ²⁰ = 289389.

¿Qué pasa con las disminuciones porcentuales compuestas?

Una disminución porcentual compuesta (también conocida como descomposición compuesta) es cuando una cantidad disminuye en el mismo porcentaje varias veces. El método para encontrar esto es muy similar a encontrar un aumento.

Suponga que compra un automóvil por £ 20 000 y cada año, el valor del automóvil cae un 15%. Queremos saber cuánto valdrá el coche dentro de cinco años.

Podríamos encontrar el 15% de £ 20 000, restar esto, luego encontrar el 15% de la nueva cantidad y así sucesivamente, pero nuevamente, esto tomará un tiempo. En su lugar, veamos el uso de multiplicadores como hicimos anteriormente.

Si partimos del 100%, una reducción del 15% nos dejará con un 85%. Entonces, en lugar de pensar en esto como encontrar una disminución del 15% cada año, podemos pensar en ello como encontrar el 85%. 85% como decimal es 85/100 = 0,85, por lo que para encontrar 85% multiplicamos por 0,85. Para hacer esto varias veces usamos poderes como lo hicimos anteriormente.

Entonces, volviendo a nuestro ejemplo de automóvil, después de 5 años el valor será £ 20 000 x 0.85 ⁵ = £ 8 874.11.

Después de 10 años, el valor será £ 20 000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3937,49.

Mira el video a continuación para ver más ejemplos.

Interés compuesto en el canal de YouTube de DoingMaths

© 2020 David