Una guía detallada de las variables griegas del comercio de opciones

Los griegos

Los griegos —delta, gamma, theta, vega y rho— son cinco variables que ayudan a identificar los riesgos de una posición de opción.

Los riesgos que enfrentan los inversores en las opciones no son unidimensionales. Para hacer frente a las condiciones cambiantes del mercado, un inversor debe ser consciente de la magnitud de estos cambios. Para ver si los cambios son grandes o pequeños, si crean un riesgo mayor o menor, la teoría de opciones y los modelos de valoración de opciones proporcionan a los inversores variables que identifican las características de riesgo de su posición de opción. Estas variables se conocen como griegas. Hay cinco griegos que monitoreamos: delta, gamma, theta, vega y rho.

Debido a que los griegos son derivados de la fórmula de Black & Scholes, comenzaremos explicando un poco más sobre eso.

Scholes negro

La fórmula de Black and Scholes, a veces conocida como la fórmula de Black, Scholes y Merton, es la herramienta estándar del mercado para las opciones de precios. Esta fórmula valora la opción en función del precio actual de la acción S ₀, el tiempo hasta el vencimiento de la opción T, su ejercicio X, la volatilidad σ y la tasa de interés r:

llamar = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

poner = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) con

donde N (x) es la función de distribución normal acumulada para la distribución normal estándar, es decir, la probabilidad de que una variable aleatoria ~ N (0,1) (con una distribución normal estándar) sea menor que x.

Antes de discutir la fórmula, establezcamos los supuestos subyacentes. La fórmula de Black and Scholes asume:

Los retornos son IID (independientes e idénticamente distribuidos) con una distribución normal.
La volatilidad futura es conocida y constante.
La tasa de interés futura es conocida, constante e igual para los préstamos y los préstamos.
La trayectoria de las acciones es continua y es posible el comercio continuo.
Los costos de transacción son nulos.

Para desarrollar la teoría asumimos que todos estos supuestos son válidos. Esta fórmula es el estándar del mercado porque es extremadamente robusta con respecto a las violaciones de sus supuestos.

Delta

El primer griego que se discutirá es el delta. Básicamente, el delta es la sensibilidad del valor teórico de una opción a un cambio en el precio del contrato subyacente. Más sencillo, el delta es el cambio del valor de una opción cuando el valor subyacente aumenta en 1 dólar. Por ejemplo:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) y Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

con N (d ₁) como en la fórmula BS.

El valor de una opción de compra aumenta cuando el precio de las acciones sube, por lo que el delta de una opción de compra es positivo. Por el contrario, el valor de una opción de venta disminuye cuando el precio de las acciones sube, por lo que el delta de la opción de venta es negativo.

Se puede notar que N (x) es una función de densidad de probabilidad, por lo que toma valor en. El delta de una llamada siempre está adentro y el delta de una llamada. Debido a que el nivel subyacente suele ser 100 acciones, el delta de la opción se multiplica por 100. Por ejemplo, una opción con un delta de 0,25 se considera un delta 25. Cuanto mayor sea el delta, más similar será el cambio del valor de la opción. ser a la acción subyacente. El valor de una opción con delta 100 se moverá exactamente a la misma tasa que la acción subyacente. Tenga en cuenta también que la operación derivada es lineal, por lo que podemos calcular el delta de cada opción y sumarlos para obtener el delta de toda la cartera (entonces, por supuesto, puede estar fuera).

Cuando una opción se acerca al vencimiento, su delta cambiará, ya que la probabilidad de vencimiento dentro o fuera del dinero cambia y la distribución normal se estrecha y se centra alrededor de la media. A medida que una opción se acerca al vencimiento, las opciones in-the-money se moverán hacia delta 100 y las opciones out-of-the-money se moverán hacia delta 0. Las opciones at-the-money, por otro lado, permanecerán alrededor del delta 50.

A medida que las acciones subyacentes cambian de precio, el delta también cambia. Esto es de esperar ya que d ₁ es una función del precio de las acciones.

Delta de una llamada

Una interpretación práctica del delta es el índice de cobertura: la cantidad de acciones que se deben comprar o vender para neutralizar el riesgo direccional de una opción. De la fórmula BS podemos ver otra interpretación. A grandes rasgos, podemos decir que el delta de una opción es su probabilidad de caducar en el dinero. (Para una venta, tomaremos el valor absoluto). Sin embargo, esta aproximación solo funciona para las opciones europeas.

Resumiendo, hay tres interpretaciones de delta:

El cambio en el valor de una opción si el subyacente aumenta en 1 dólar.
El índice de cobertura: el número de acciones que se comprarán o venderán para neutralizar el riesgo direccional de la posición.
La posibilidad de que la opción esté in-the-money al vencimiento

→ Llamadas OTM: delta tiende a 0 cuando nos acercamos al vencimiento.

→ Llamadas ITM: delta tiende a 100 a medida que pasa el tiempo.

Delta de una venta frente al precio subyacente

Delta versus volatilidad

A medida que la volatilidad aumenta (disminuye), el delta de una llamada se acerca (alejándose de) 0.50 y el delta de una opción put hacia (alejándose de) -0.50. Entonces, si la volatilidad aumenta (disminuye), el delta de una opción en el dinero disminuye (aumenta). En el caso de una opción fuera del dinero, esto es exactamente lo contrario.

Delta versus tiempo

A medida que el tiempo decae, el delta de una llamada se aleja de 0,50 y el delta de una colocación se aleja de -0,50. A medida que pasa el tiempo, el delta de una llamada in the money se mueve hacia 1 y el delta de un out the money hacia 0.

Gama

Gamma es la derivada de delta en función del precio de las acciones. Dado que delta es la derivada del valor de la opción en función de la acción subyacente, gamma es el cambio de delta cuando el precio de la acción aumenta en 1 dólar. Está escrito de la siguiente manera:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

con d ₁ como en la fórmula BS y N 'la primera derivada de la función de densidad acumulativa gaussiana, que es la densidad gaussiana habitual:

Gamma versus precio de las acciones, Gamma versus tiempo

A menudo se dice que gamma alcanza su valor máximo cuando una opción es ATM. Esto es correcto como una primera aproximación, sin embargo, el máximo real se alcanza cuando el precio de las acciones está justo por debajo del precio de ejercicio. Este efecto se muestra en la parte izquierda de la figura anterior para una acción que cotiza a 100 dólares. Dada una huelga X, σ volatilidad, una tasa r, y un tiempo de expiración T, el valor del stock dando la máxima gamma es S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

La curva gamma de una opción de compra y venta es idéntica. Esto es consistente con lo que dijimos acerca de las llamadas y las opciones de venta en general, así como de la gama gamma en particular hasta ahora.

A medida que disminuye el tiempo de vencimiento, aumentan la gamma y la theta de las opciones at-the-money. Justo antes del vencimiento, estas variables pueden volverse dramáticamente grandes.

Gamma versus tiempo

Como muestra la figura anterior, el gráfico se estrecha pero la superficie total debajo del gráfico permanece sin cambios. Como consecuencia, el gráfico obtiene un techo mucho más alto. La parte superior más alta simboliza el aumento de gamma y theta a medida que disminuye el tiempo de expiración.

Debido al comportamiento de las llamadas ITM, ATM y OTM, vemos que la curva delta se empinará alrededor del strike a medida que se acerque la expiración. Por lo tanto, la gamma aumentará para la opción ATM a medida que pase el tiempo. Sin embargo, esto no es cierto para las opciones OTM e ITM.

Gamma es un parámetro de riesgo importante porque determina cuánto dinero podemos ganar o perder en nuestra cartera neutral delta a medida que cambia el precio de las acciones. En el siguiente ejemplo, evaluaremos el P / L de una posición de opción como consecuencia del movimiento del subyacente. Asumiremos una gamma constante de 2.7, por lo que el delta cambia en 2.7 por movimiento de dólar del subyacente.

Suponga que compramos el call 80 1000 veces a 5,52 con un precio de las acciones de 79 dólares. Para ser delta neutral, deberíamos vender 51,100 acciones. El precio de las acciones se desarrolla de la siguiente manera:



t =	Precio de mercado
0	79
1	84
2	76
3	79

En t = 1 y t = 2, reajusto mi cobertura para ser delta neutral. En t = 3, cierro mi posición.

Tres formas de calcular el cambio en el valor de una posición

Aquí hay tres formas de calcular el cambio en el valor de nuestra posición, la primera usando el flujo de caja, la segunda usando delta y la tercera usando gamma.

1. Cálculo de ganancias usando flujo de caja

Primero miramos los flujos de efectivo, como se muestra en la siguiente tabla. La segunda columna muestra los flujos de efectivo relacionados con la opción call y la tercera relacionada con mi posición de acciones. La última línea suma todo:

Así que eventualmente obtenemos una ganancia de 132,300. Si somos opciones largas y, por lo tanto, tenemos una posición gamma larga, necesitamos comprar acciones si el precio de las acciones disminuye y vender acciones si el precio de las acciones aumenta (comprar bajo, vender alto), por lo que siempre obtenemos ganancias si las acciones se mueven. Compruebe usted mismo que esto es válido tanto para las llamadas como para las ventas.

2. Cálculo de ganancias usando Delta

Ahora consideramos una segunda forma de calcular las ganancias. Las operaciones son las mismas, solo que el cálculo de las ganancias es diferente. Con ese método consideramos simultáneamente la opción y la posición de acciones. Tenemos las acciones como cobertura para la opción, así que consideremos la posición delta total. Empezamos delta neutral. Luego, la acción se mueve, ganamos deltas. (Calculamos los deltas que obtenemos usando la diferencia entre dos deltas dados para los valores de stock iniciales y finales dados. Para obtener el delta promedio durante el movimiento, tomamos este valor dividido por dos). La cartera gana en valor según sus deltas como se explica a continuación.

En este caso usamos el método delta promedio. Es decir, nosotros:

Calcule la posición delta promedio durante el movimiento de acciones.
Multiplique esto por el intervalo para calcular la ganancia.

En el momento t, realizamos cobertura, por lo que compramos / vendemos acciones para que delta vuelva a ser neutral.

Veamos esto con más atención:

En t = 0, se negocian 79 acciones, comenzamos una posición neutral delta, es decir, tenemos 51,100 acciones en corto.
En t = 1, las acciones se negocian a 84. El delta de la posición de la opción es 64,6 * 1000 (de las opciones) -51100 (de las acciones). Entre t = 0 y t = 1, mi posición delta pasó de 0 a 13,500. Mi delta promedio para el movimiento fue entonces (13,500 + 0) / 2 = 6750 (6.75 por llamada). Para calcular el PnL de mi posición, multiplico estos deltas por la cantidad de movimiento de acciones: 6570 * 5 = 33,750 dólares. Para obtener este beneficio, necesito vender acciones para volver a ser delta neutral.
En t = 2, las acciones se negocian 76. El delta de mi posición de opción es 43.0 * 1000 y el delta de mi posición de acciones es -64600…

Ejemplo de cálculo de beneficios utilizando Gamma.

3. Cálculo de ganancias usando Gamma

En el ejemplo anterior, calculamos la posición delta promedio tomando el promedio de la posición delta inicial y la posición delta final. Esto también se puede lograr usando la gamma, ya que la gamma define el cambio del delta por dólar.

Aclaremos cómo:

En t = 0, se negocian acciones 79, delta neutral, gamma es 2700.
En t = 1, las acciones se negocian a 84. Las acciones se movieron en 5, por lo que mi nueva posición delta es 5 * 2700. Al comienzo del movimiento, mi delta era 0, por lo que mi delta promedio es 5 * 2700/2. Las acciones se movieron en 5, por lo que la cartera ganó 5 * delta promedio = 5 * 5 * 2700/2. La cartera está cubierta para que el delta vuelva a ser 0. A esto lo llamamos "arrancar la gamma". Una posición larga de gamma le permite comprar barato y vender caro.
En t = 2, las acciones negocian 76. Este es un movimiento de 8 dólares, mi nueva posición delta es el 8 * 2700…

Se puede utilizar la siguiente fórmula genérica si partimos de una cartera delta neutral:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2